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By Prof. Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete und erweiterte dritte Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen. Neu hinzugekommen sind zwei Abschnitte ?ber Kummer-Theorie, einschlie?lich einer Einf?hrung in den Kalk?l der Witt-Vektoren, und eine Herleitung der Formeln zur Aufl?sung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades. Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Definition 4. Es sei Rein Integritätsring und pER eine von 0 verschiedene Niehteinheit. (i) p heißt irreduzibel, falls für jede Zerlegung p = xy mit x, y E R gilt: x E R* oder y E R*. Es heißt p reduzibel, falls p nicht irreduzibel ist. (ii) p heißt primes Element oder Primelernent, wenn aus plxy mit x,y ER stets p I x oder pi y folgt, d. h. mit anderen Worten, wenn das Hauptideal (p) prim ist. Im Ring Z der ganzen Zahlen entsprechen die irreduziblen Elemente abgesehen vom Vorzeichen genau den Primzahlen im üblichen Sinne, während im Polynomring K [X] über einem Körper K insbesondere die linearen Polynome X - a mit a E K irreduzibel sind.

0 Für eine Primzahl p ist also Z/pZ ein Körper mit p Elementen; man verwendet hierfür die Notation IFp . Mit Teilbarkeitstheorie kann man allgemeiner zeigen, daß für ganze Zahlen m > 1 die Einheitengruppe (Z/mZ)* aus allen Restklassen a, a E Z, besteht, für die a teilerfremd zu m ist. Als nächstes wollen wir die Aussage von Satz 6 in einen etwas allgemeineren Zusammenhang stellen. Definition 7. Es sei R ein Ring. (i) Ein Ideal peR heißt prim oder Primideal, wenn p von R verschieden ist und wenn für a, b E R mit ab E p stets a E p oder b E P folgt.

Sei schließlich Z/mZ wie in (iii) als Körper oder allgemeiner als nullteilerfrei angenommen. Insbesondere folgt dann Z/mZ f. 0 und somit m > 1. Um zu zeigen, daß m eine Primzahl ist, betrachte man einen Teiler dEN von m mit einer Gleichung m = da. Es folgt Cl· a = 0, und die Nullteilerfreiheit von Z/mZ ergibt Cl = 0 oder a = o. Im ersten Fall ist m ein Teiler von d, d. h. d = m, und im zweiten Fall ist m ein Teiler von a, d. h. a = m und somit d = 1. Also hat m höchstens sich selbst und 1 als Teiler und ist damit eine Primzahl.

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