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By Hans-Jürgen Schneider

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Premiers Apprentissages en Mathématiques

Livre pédagogique pour le préscolaire et l. a. maternelle.
4-5 ans Moyenne part.

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Die Abbildungen in 1. induzieren inverse Bijektionen {H | N ⊂ H G} {U | U G/N } Beweis. 1. Beide Abbildungen sind offenbar wohldefiniert. Ist H ⊂ G eine Untergruppe, die N enthält, so ist kan−1 (H/N ) = H zu zeigen. Dabei ist ⊃ klar; für ⊂ sei x ∈ kan−1 (H/N ), dann gibt es ein h ∈ H mit x = h in G/N , also xh−1 ∈ H, und das heißt x ∈ N h ⊂ H. Ist nun U ⊂ G/N eine Untergruppe, so ist kan(kan−1 (U )) = U zu zeigen. Hierbei ist ⊂ klar und ⊃ einfach die Surjektivität von kan. 2. Folgt aus 1. und dem Verhalten von Normalteilern unter Homomorphismen, speziell Epimorphismen.

Es gilt Max(Z) = {(p) | p Primzahl} und Spec(Z) = Max(Z) ∪ {0}. Beweis. 1 hat jedes Ideal in Z die Form (n) mit n 0. 5 sind die maximalen Ideale damit genau die (p) mit p prim. 0 ist ein Primideal, da Z/0 ∼ 1 und (n) ein = Z ein Integritätsring ist. Ist n Primideal, so ist Z/(n) ein Integritätsring und damit nach 1. bereits ein Körper, also n prim. 3. Sind R, S kommutative Ringe und ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, so ist Spec(ϕ) : Spec(S) → Spec(R), P → ϕ−1 (P ), eine wohldefinierte Abbildung.

2. =⇒ 1. Ist U ⊂ M ein Untermodul mit N Dann ist M = N + Rx ⊂ U , also U = M . U ⊂ M , so gibt es ein x ∈ U , x ∈ N . 5 Satz. Es sei R ein kommutativer Ring und P R ein Ideal. Dann gilt: 1. P ist genau dann ein Primideal in R, wenn R/P ein Integritätsring ist. 2. P ist genau dann ein maximales Ideal in R, wenn R/P ein Körper ist. Beweis. 1. P ist genau dann prim, wenn P = R ist und für alle x, y ∈ R mit xy ∈ P bereits x ∈ P oder y ∈ P gelten muß; dies ist aber äquivalent zu R/P = 0 und der Forderung, daß für alle x, y ∈ R mit xy = 0 in R/P bereits x = 0 oder y = 0 folgen muß, also dazu, daß R/P ein Integritätsring ist.

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