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Dieser Automorphismus ist aber einfach die Linksmultiplikation von ® mit einem gewissen Element r, dessen Inverses r- 1 existiert. Ein Linksideal 1 von ®p geht also bei diesem Automorphismus in sich tiber: rl = I (wenn auch nicht elementweise). Die Bilder in III der Linksideale von ®p, die also allein durch m bestimmt sind, heiBen die Galoismoduln von Ill/P. J eder Galoismodul bestimmt eine Darstellung von ®p in P, indem das zugeharige Linksideal von ®p als Darstellungsmodul genommen wird. ~ sei ein Teilk6rper von m, der P entha1t, und demnach Invariantenbereich einer Untergruppe SJ von ® ist, SJ ist die galoissche Gruppe von min Beziehung auf ~.

F3b)m = (rxf3. ab)m = rXf3(ab. m) = x(f3(a (bm))) = ex(a(f3(bm))) = rXa (f3bm). Die Definition von cm hangt von der benutzten Basis u nicht abo Zum Beweis betrachten wir eine zweite Basis b = (VI' . • , V n ) von 58, es sei Weiter sei, (Xl' . . , Xn) = ! gesetzt, ! = Ui! Vi! = Vi! Ui Ui' Vi Matrizes in A, und c = 'Lf3i1t; = 'LYiVi' Die Bildung von c . m mittels u gibt C! = ('Lf3i UJ! ij f3i' i C! = Cf~Yj V)!. ij V j , j daher woraus die Behauptung folgt. Umgekehrt ist ein Linearformenmodul in A, der zugleich 58 A - Linksmodul ist, reziproker Darstellungsmodul von 58 in A, die Vertauschungsregel rX' am = a· rXm (rX c A, a c 58, me m) ist jetzt umgekehrt eine Folge der Assoziativregel und der Vertauschbarkeit von rX mit a: rX· am = rXa· m = aex· m = a· rXm.

Das Zentrum von 1}1 X ~ ist gleich dem Zentrum des andern Faktors. 3. Wir untersuchen jetzt, was eine Erweiterung des Grundkorpers P zu einem Korper Q fur eine einfache Algebra m:jP ausmacht. Da wir m: als direktes Produkt einer Divisionsalgebra A mit einem Matrizesring Pr schreiben konnen und m:Q = (A X Prb = AQ X Q r wird, so konnen wir uns auf Divisionsalgebren A beschranken. 1st Z das Zentrum von A, so ist ZQ das Zentrum von AQ • 1st Q rein transzendent uber P, so wird ZQ ein Korper und AQ bleibt Divisionsalgebra.

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